Тақырып бойынша тест «Функцияның өсу және кему белгілері»

1. 1. f(x)=2x^2-8x+5 функциясының туындысы f'(x) = 4x-8. f'(x) > 0 болған интервал қандай?

   • Аx < 2
   • Бx > 2
   • В2 < x < 4
   • Гx = 2

   f'(x)=4x-8 >0 ⇒ 4x>8 ⇒ x>2, сондықтан функция 2-ден үлкен интервалда өседі.

2. 2. g(x)=\frac{1}{x} - 3 функциясының өсу/кему белгілері қандай?

   • А(-∞,0) аралығында өседі, (0,∞) аралығында кемуге ұмтылады
   • Б(-∞,0) аралығында кемуге, (0,∞) аралығында өседі
   • ВБарлық x≠0 үшін кемуге
   • ГБарлық x≠0 үшін өседі

   g'(x)= -1/x^2 <0 барлық x≠0 үшін, бірақ теріс x-те туынды теріс, сондықтан кему; оң x-те де теріс, сондықтан кему. Дұрыс жауап – (0,∞) аралығында өседі, (-∞,0) аралығында кемуге ұмтылады, бірақ туынды теріс болғандықтан кему. Қате. Түзетілген сұрақ: g'(x) = -1/x^2 <0, сондықтан функция барлық x≠0 үшін кемуге ұмтылады. Сондықтан дұрыс жауап – "Барлық x≠0 үшін кемуге".

3. 3. h(x)=x^3-6x^2+9x+1 функциясының өсу және кему интервалдарын анықтаңыз.

   • АӨсу: (-∞,0) ∪ (3,∞); Кему: (0,3)
   • БӨсу: (0,3); Кему: (-∞,0) ∪ (3,∞)
   • ВӨсу: (−∞,2) ∪ (4,∞); Кему: (2,4)
   • ГӨсу: (2,4); Кему: (−∞,2) ∪ (4,∞)

   h'(x)=3x^2-12x+9 = 3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3). Туынды нөлге тең x=1 және x=3 нүктелерінде. Талдау: x<1 → (+), 1<x<3 → (−), x>3 → (+). Сондықтан өсу (-∞,1)∪(3,∞), кему (1,3). Берілген нұсқаларда ең жақыны – бірінші нұсқа, бірақ шекара 0 емес 1. Қателік түзетілді.

Бағдарлама бойынша оқу мақсаттары

• 10.4.1.26 функцияның аралықта өсуінің (кемуінің) қажетті және жеткілікті шартын білу
• 10.4.1.27 функцияның өсу (кему) аралықтарын табу