Тест по теме «Решение тригонометрических неравенств»

1. 1. Решите неравенство \(\sin x > 0\) на промежутке \([0, 2\pi)\).

   • А\(0 < x < \pi\)
   • Б\(\pi < x < 2\pi\)
   • В\(0 < x < \frac{\pi}{2}\) или \(\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\)
   • ГВсе x, кроме кратных \(\pi\)

   Синус положителен в первой и второй четвертях, то есть при углах от 0 до \(\pi\) (не включая границы, где \(\sin x = 0\)).

2. 2. Найдите решение неравенства \(\cos 2x \le \frac{1}{2}\) на промежутке \([0, 2\pi)\).

   • А\(0 \le x \le \frac{\pi}{3}\) или \(\frac{2\pi}{3} \le x \le \pi\)
   • Б\(\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{5\pi}{6}\) или \(\frac{7\pi}{6} \le x \le \frac{11\pi}{6}\)
   • В\(\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{2\pi}{3}\) или \(\frac{4\pi}{3} \le x \le \frac{5\pi}{3}\)
   • ГВсе x, кроме интервала \(\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right)\)

   Преобразуем: \(\cos 2x \le \frac12\) ⇔ \(2x \in [\frac{\pi}{3}+2k\pi, \frac{5\pi}{3}+2k\pi]\). Делим на 2, получаем указанные интервалы для x.

3. 3. Решите неравенство \(\tan x - \sqrt{3} > 0\) на промежутке \([0, 2\pi)\).

   • А\(0 < x < \frac{\pi}{3}\) или \(\pi < x < \frac{4\pi}{3}\)
   • Б\(\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}\) или \(\frac{4\pi}{3} < x < \frac{3\pi}{2}\)
   • В\(\frac{\pi}{3} < x < \pi\) или \(\frac{4\pi}{3} < x < 2\pi\)
   • Г\(\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}\) или \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\) или \(\frac{4\pi}{3} < x < \frac{3\pi}{2}\) или \(\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\)

   Неравенство \(\tan x > \sqrt{3}\) эквивалентно \(x \in \left(\frac{\pi}{3}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\right)\). На \([0,2\pi)\) получаем интервалы \((\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})\) и \((\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2})\).

Цели обучения по программе

• 10.2.3.17 уметь решать простейшие тригонометрические неравенства
• 10.2.3.18 уметь решать тригонометрические неравенства