Тест по теме «Уравнения высших степеней, приводимые к виду квадратного уравнения»

1. 1. Решите уравнение \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) методом введения новой переменной. Какой корень является решением исходного уравнения?

   • Аx = 1
   • Бx = -2
   • Вx = 2
   • Гx = -1

   Подставив \(t = x^2\), получаем квадратное уравнение \(t^2 - 5t + 4 = 0\) → t = 1 или t = 4. Отсюда x^2 = 4 → x = ±2; выбираем положительный корень 2 как один из решений.

2. 2. Уравнение \(x^3 - 6x^2 + 9x = 0\) решается разложением на множители. Какой из перечисленных вариантов является полным набором его корней?

   • Аx = 0, 3
   • Бx = 0, 2, 3
   • Вx = 1, 3
   • Гx = 0, 1, 3

   Вынесем x: \(x(x^2 - 6x + 9) = x(x-3)^2 = 0\). Корни: x = 0 и x = 3 (кратный), поэтому набор {0, 3}.

3. 3. Для уравнения \(2x^4 - 13x^2 + 15 = 0\) найдите все действительные корни. Какой набор корней получаем после применения метода замены переменной?

   • Аx = ±1, ±\sqrt{\frac{15}{2}}
   • Бx = ±\sqrt{\frac{3}{2}}, ±\sqrt{5}
   • Вx = ±\sqrt{\frac{5}{2}}, ±\sqrt{3}
   • Гx = ±\sqrt{\frac{15}{2}}, ±\sqrt{\frac{3}{2}}

   Положим t = x^2: 2t^2 - 13t + 15 = 0 → (2t-5)(t-3)=0, т.е. t = 5/2 или t = 3. Тогда x = ±√(5/2) и x = ±√3, что соответствует варианту 3.

Цели обучения по программе

• 10.2.2.1 применять метод разложение на множители при решении уравнений высших степеней
• 10.2.2.2 применять метод введения новой переменной при решении уравнений высших степеней