Тест по теме «Производная и интеграл степенной функции с действительным показателем»

1. 1. Найдите производную функции f(x) = x^√3.

   • А√3·x^(√3−1)
   • Бx^(√3−1)
   • В√3·x^√3
   • Г(√3−1)·x^(√3−2)

   По правилу (x^n)′ = n·x^(n−1), справедливому для любого действительного показателя, показатель выносится множителем, а сама степень уменьшается на 1: f′(x) = √3·x^(√3−1).

2. 2. Чему равен интеграл ∫ x^(−2) dx?

   • А−1/x + C
   • Б1/x + C
   • В−2x^(−3) + C
   • Г−x^(−3)/3 + C

   По правилу ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C при n = −2 получаем x^(−1)/(−1) + C = −1/x + C. Остальные варианты получаются при неверном прибавлении единицы к показателю.

3. 3. Вычислите определённый интеграл ∫ от 1 до 4 √x dx.

   • А14/3
   • Б16/3
   • В7/3
   • Г2/3

   Так как √x = x^(1/2), первообразная равна (2/3)x^(3/2). По формуле Ньютона–Лейбница: (2/3)(4^(3/2) − 1^(3/2)) = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

Цели обучения по программе

• 11.4.1.12 знать и применять правила нахождения производной степенной функции с действительным показателем
• 11.4.1.13 знать и применять правила нахождения интеграла степенной функции с действительным показателем